Correzione compito in classe

classe III, Maggio 2007

È data la famiglia di funzioni omografiche di equazione
  1. Determina per quali valori di m la funzione non rappresenta un’iperbole equilatera traslata e disegna i grafici delle figure ottenute.
  2. Determina l’iperbole Γ per m = 0 e disegnala.
  3. Trova eventuali punti comuni a tutte le iperboli.
  4. Trova il luogo dei centri e disegnalo.
  5. Determina l’iperbole Φ del fascio con asintoto y = 2; disegnala; trova le intersezioni con l’iperbole Γ.
  6. Determina la parabola passante per l’origine che ha tangente comune all’iperbole Φ nel punto di intersezione dell’iperbole Φ con l’iperbole Γ, che ha ascissa maggiore. 
  1. Per 
	m=1 si ha y=x+4, una retta.
Per 
	


il rapporto tra binomio a numeratore e binomio a denominatore è una costante.
Ciò per
	m2 = (m+3)(m-1)
ovvero
	0 = 2m -3 
ovvero 
	m = 3/2
In questo caso
	


si ha la retta
	y=3

  2. Per 
	m=0 si ha y=-3/x.
Il grafico è un'iperbole equilatera con asintoti coincidenti
con gli assi coordinati e i vertici V(v,-v) con v2=3
	



  3. Possiamo interesecare una particolare curva della famiglia con tutte le altre
	


Allora
	


ovvero
	-3(m-1)x-3m = mx2 + (m+3)x
da cui
	mx2 + (m+3+3m-3)x +3m=0
ovvero
	m(x2 +4x +3)=0
Indipendentemente da m si hanno le soluzioni x=-3, x=-1, cioè i punti A(-3,1) e B(-1,3) sono comuni.

  4. Il centro di ciascuna iperbole è
	


Le equazioni parametriche del luogo geometrico formato da tali centri
	


la cui equazione parametrica è evidentemente
	y = -x

  5. La condizione legata all'asintoto orizzontale è
	

da cui
	m=2.
L' equazione della iperbole è dunque
	
 
con asintoto verticale
	x = -2

  6. La parabola, con asse parallelo all'asse y, ha equazione
	y = ax2 + bx.
La condizione di passaggio per B(-1,3) impone che   3 = a - b   da cui b = a-3.
L'equazione è ora
	y = ax\frac{y+3}{2} + (a-3)x.
Con il metoodo di sdoppiamento, la tangente in B alla parabola è
	

ovvero
	(a+3)x+y+a=0
Con lo stesso metodo la tangente in B alla iperbole, di equazione xy-2x+2y-5=0, è
	
 
ovvero
	x+y-2=0
Volendo che siano coincidenti le due rette
	a+3=1 e a=-2
e così lò'equazione della parabola diventa
	y=-2x2-5x
pagina di Roberto Ricci L.S. "A. Righi", Bologna. Ultima revisione